Cực trị của hàm số

By Thiết kế website và Marketing - August 10, 2012

Dạng toán 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị

Phương pháp giải:

Để xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số (đồ thị hàm số) y=f(x,m)

có n cực trị ta tiến hành như sau :

Tìm tập xác định D của hàm số

Tính đạo hàm

Xác định điều kiện để đồi dấu n lần trên tập

Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán)

Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán

Chú ý́

Các hàm số: y=ax^3+bx^2+cx+d

$(a\ne0)$ , $y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x+b'}$

Hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị (gồm một cực đại và một cực tiểu)

Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT y'=0

có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Cho hàm số $y= \frac{x^2+2m^{2}x+m^2}{x+1}$ với giá trị nào của

thì hàm số có cực trị.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định : $D=R\backslash \left\{{-1} \right\}$
Đạo hàm: $y'=\frac{x^2+2x+m^2}{\left({x+1} \right)^2}$
Đặt $\phi (x)=x^2+2x+m^2$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow$ $\phi (x)=0$ có hai nghiêm phân biệt

thỏa $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ \phi(-1) \ne 0 \end{array}\right.$

Đáp án:

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Xét hàm số: y=x^3-(m-1)x^2+(2m-1)x+9m-5

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số có hai cực trị

Bài 2. Xét hàm số: y=mx^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+m-7

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm só có cực trị

Bài 3. Xét hàm số: y=(m - 1)x^3-(2m - 1)x^2+(m-3)x+11m-1

. Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số không có cực trị

Bài 4. Xét hàm số: $y=\frac{x^2-(m-2)x+3m+1}{x-2}$ . Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàm số có cực trị

Bài 5. Xét hàm số: $y=\frac{mx^2-(m+1)x+2m-6}{x+1}$ . Xác định các giá trị của tham số

sao cho hàmCo số không có cực trị

Trích: http://kenhdaihoc.com/forum/forums/552-Toan-hoc.kdh

Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

Điều kiện để hàm số có cực trị tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right) \ne 0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực đại tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)<0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)

có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ a \ne 0 \end{array}\right.$

Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị :

có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Tìm

để hàm số

đạt cực tiểu tại x=2

Hướng dẫn giải:

Tập xác định D=R

Đạo hàm

Điều kiện đủ để hàm số đạt cức tiểu tại x=2

là:

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({2}\right)=0 \\ y''\left({2}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} 3(4-4m+m^2-1)=0 \\ 6(2-m)<0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} m^{2}-4m+3=0 \\ 2-m<0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=3 \end{array} \right.$ và m>2

$\Leftrightarrow m=3$

Kết luận:

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1$ . Tìm giá trị của tham số

để hàm số đạt cực đại tại điểm x=1

2.Cho hàm số y=mx^4+(m^2-9)x^2+10

. Tìm

để hàm số có 3 cực trị.

3. Định

để

đạt cực đại tại x=1

4. Cho hàm số $\frac{x^4}{2}-ax^2+b$ . Định a,b

để hàm số đạt cực trị bằng

tại

5. Cho hàm số y=x^3+(m-1)x^2-(m+3)x-1

. CMR đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu . Viết hương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số

Search This Blog

Văn nghị luận